Mathématiques financières pour le lycée

Formules de mathématiques financières Les intérêts 1 Les intérêts 2 Equivalence de capitaux Les annuités

• FORMULES DE MATHEMATIQUES FINANCIERES

Intérêts simplesIntérêts composésTaux proportionnel et taux équivalentL’escompteLes annuités constantesLes amortissements constants

Intérêts simples

1. Calcul de l’intérêt

1. Soit I l’intérêt ; C le capital prêté ou placé ; t le taux d’intérêt ; n_a la durée en années ; n_m la durée en mois ; n_j la durée en jours 

1. I=C× t 100 × n a ou I=C× t 100 × n m 12 ou I=C× t 100 × n j 360

1. Calcul de la valeur acquise

1. Soit I l’intérêt ; C le capital prêté ou placé ; VA la valeur acquise 

1. VA=C+I

1. Calcul du capital

1. Soit I l’intérêt ; t le taux d’intérêt ; n la durée 

1. C= I×100 t×n

1. Calcul du capital

1. Soit VA la valeur acquise ; t le taux d’intérêt ; n la durée 

1. C= VA 1+t×n

1. Calcul du taux

1. Soit I l’intérêt ; C le capital prêté ou placé ; n la durée 

1. t= I C×n Remarque : I = VA - C

1. Calcul de la durée

1. Soit VA la valeur acquise ; C le capital prêté ou placé ; I l’intérêt ; t le taux d’intérêt 

1. n= I C×t ou n= VA-C C×t ou n= I (VA-I)×t

___
Intérêts composés

1. Calcul de la valeur acquise

1. Soit C_n la valeur acquise en n ; C₀ le capital initial ; n la durée ; i le taux d’intérêt 

1. C n = C 0 (1+i) n

1. Calcul de la valeur actuelle

1. Soit C_n la valeur nominale ; C₀ le capital initial ; n la durée ; i le taux d’intérêt 

1. C 0 = C n (1+i) -n

1. Calcul des intérêts

1. Soit I l’intérêt ; C_n la valeur acquise en n ; C₀ le capital initial 

1. I= C n -C 0

1. Calcul de la durée

1. Soit n la durée ; C_n la valeur acquise en n ; i le taux d’intérêt ; C₀ le capital initial

1. n= ln(C n )-ln(C 0 ) ln(1+i)

1. Calcul du taux d’intérêt

1. Soit n la durée ; C_n la valeur acquise en n ; C₀ le capital initial 

1. i= C n C 0 n −1

___ Taux proportionnel et taux équivalent

1. Calcul d’un taux proportionnel

1. Soit i_a le taux annuel ; i_m le taux mensuel ; i_t le taux trimestriel ; i_s le taux semestriel 

1. i m = i a 12 ; i t = i a 4 ; i s = i a 2 ; i a =12× i m =4× i t =2× i s

1. Calcul d’un taux équivalent

1. Soit i le taux annuel ; k le nombre de périodes dans l’année ; i_k le taux équivalent pour la période de capitalisation ; C_n la valeur acquise en n ; C₀ le capital initial 

1. i k = (1+i) 1 k −1= ln(C n )-ln(C 0 ) k ; (1+ i k ) k =(1+i)

___ L’escompte

1. Calcul de la valeur actuelle

1. Soit V₀ la valeur actuelle à la période 0 ; V_n la valeur nominale à la période n ; e l’escompte 

1. V 0 = V n -e

1. Calcul de l’escompte

1. Soit V_n la valeur nominale à la période n ; e l’escompte ; t le taux d’escompte ; n_j la durée en jours

1. e= V n ×t× n j 36000

1. Calcul du taux d’escompte

1. Soit V_n la valeur nominale à la période n ; e l’escompte ; t le taux d’escompte ; n_j la durée en jours

1. t= e V n × n j 360

1. Calcul de la durée d’escompte

1. Soit V_n la valeur nominale à la période n ; e l’escompte ; t le taux d’escompte ; n_j la durée en jours

1. n= e×360 V n ×t

___
Les annuités constantes

1. Calcul de l’annuité constante à partir de la valeur actuelle

1. Soit V₀ la valeur actuelle à la période 0 ; i le taux d’intérêt ; n la durée ; a l’annuité constante

1. a= V 0 i 1-(1+ i) -n

1. Calcul de l’annuité constante à partir de la valeur acquise

1. Soit V_n la valeur acquise à la période n ; i le taux d’intérêt ; n la durée ; a l’annuité constante

1. a= V n i (1+i) n −1

1. Calcul de la valeur acquise d’une suite d’annuités constantes

1. Soit V_n la valeur acquise à la période n ; i le taux d’intérêt ; n la durée ; a l’annuité constante

1. V n =a (1+i) n −1 i

1. Calcul de la durée d’une suite d’annuités constantes

1. Soit V_n la valeur acquise à la période n ; i le taux d’intérêt ; n la durée ; a l’annuité constante

1. n= ln( V n ×i a +1) ln(1+i)

1. Calcul de la valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes

1. Soit V₀ la valeur actuelle à la période 0 ; i le taux d’intérêt ; n la durée ; a l’annuité constante

1. V n =a 1-(1+ i) -n i Remarque : (1+i)^-n = 1 (1+i) n

1. Calcul du capital restant dans le cas d’un emprunt avec annuités constantes

1. Soit C_k le capital restant dû à la période n ; i le taux d’intérêt ; n la durée totale ; a l’annuité constante ; k le nombre d’annuités remboursées

1. C k =a 1-(1+ i) -(n-k) i

1. Calcul du 1er amortissement dans le cas d’un emprunt avec annuités constantes

1. Soit A₁ le 1er amortissement ; i le taux d’intérêt ; n la durée totale ; V₀ la valeur actuelle à la période 0 

1. A 1 = V 0 i (1+i) n -1

1. Calcul d’un amortissement quelconque en fonction du 1er amortissement dans le cas d’un emprunt avec annuités constantes

1. Soit A₁ le 1er amortissement ; i le taux d’intérêt ; K le rang de l’amortissement recherché ; A_k la valeur de l’amortissement à la période k 

1. A k = A 1 (1+i) k-1

1. Calcul d’un amortissement quelconque en fonction d’un amortissement autre que le 1er dans le cas d’un emprunt avec annuités constantes

1. Soit A_p l’amortissement de la période P ; i le taux d’intérêt ; K le rang de l’amortissement recherché ; A_k la valeur de l’amortissement à la période k 

1. A k = A p (1+i) (k-p)

1. Calcul du capital remboursé à la fin d’une période quelconque dans le cas d’un emprunt avec annuités constantes

1. Soit A₁ le 1er amortissement ; i le taux d’intérêt ; K la période ; C_k la capital remboursé à la période k 

1. C k = A 1 (1+i) k −1 i

Les amortissements constants

1. Calcul de l’amortissement constant

1. Soit V₀ le capital emprunté ; n la durée ; A l’amortissement constant

1. A= V 0 n

1. Calcul d’une annuité en fonction de l’annuité précédente 

1. Soit V₀ le capital emprunté ; n la durée ; i le taux d’intérêt ; a_k l’annuité de la période K ; a_p l’annuité de la période P ; K le rang de la période K ; P le rang de la période P 

1. a k = a p -(K-P) V 0 n ×i

• Les intérêts 1

Les intérêts simples et les intérêts composésDéfinitionUn capital produit des intérêts simples si les intérêts sont uniquement calculés sur ce capital.
Un capital produit des intérêts composés si à la fin de chaque période, les intérêts générés sont ajoutés au capital pour produire de nouveaux intérêts. On dit aussi que les intérêts sont capitalisés.
ExemplePlacement d'un capital de 100 € à un taux annuel de 5 % d'intérêts simples sur 2 ans.
» Les intérêts seront de : 100 × (5 / 100) × 2 = 10  €.
Placement d'un capital de 100 € à un taux annuel de 5 % d'intérêts composés sur 2 ans.
» Les intérêts seront de : 100 × (5 / 100) = 5 € la première année. Puis : 105 × (5 / 100) = 5,25 € la deuxième année. Soit au total 10,25 €.
Les placements d'une durée inférieure à un an ont généralement des intérêts simples. Le taux annuel est désigné comme le taux nominal ou le taux facial.
Les intérêts des placements de plus d'un an sont des intérêts composés. Le taux annuel est appelé taux actuariel ou taux équivalent.
Le taux proportionnel et le taux équivalentLes taux donnés dans le paragraphe précédent sont des taux annuels. Pour calculer des intérêts sur une durée inférieure, on a besoin de déterminer le taux de la période ou le taux périodique.
Définition du taux proportionnelLe taux périodique est un taux proportionnel si ce taux appliqué à un calcul d'intérêts simples sur toutes les périodes de l'année donne le même résultat que le taux annuel.
Formule générale :Taux périodique proportionnel = Taux nominal × Durée de la période / Durée de l'année.
Exemple :- Taux proportionnel mensuel pour un taux annuel de 6% : 0,06 x 1 mois / 12 mois = 0,5 %.
- Taux proportionnel pour la période du 1/1/2005 au 15/2/2005 pour un taux annuel de 10 % :
0,10 ×46 jours / 365 jours = 1,26 %.
Définition du taux équivalentLe taux périodique est un taux équivalent (ou actuariel) si ce taux appliqué à un calcul d'intérêts composés sur toutes les périodes de l'année donne le même résultat que le taux annuel.
Formule générale :Taux périodique équivalent = (1 + Taux annuel)^{Durée de la période / Durée de l'année}- 1
Exemple :- Taux équivalent mensuel pour un taux annuel de 6% : 1,06^{1 mois / 12 mois}- 1 = 0,49 %.
- Taux équivalent pour la période du 1/1/2005 au 15/2/2005 pour un taux annuel de 10 % :
1,10^{46 jours / 365 jours}- 1 = 1,21 %.
ExempleUn placement de 1.000 € sur 6 mois au taux annuel de 12 %.
• Avec des intérêts simples, le taux périodique proportionnel sera de 0,12  x 6 mois / 12 mois, soit 6 %. Le montant des intérêts sera alors de 1.000 x 6 / 100, soit 60 €.
Pour une durée d'un an, les intérêts seront de 60 € × 2 = 120 €.
• Avec des intérêts composés, le taux périodique équivalent sera de (1,12^{6 mois / 12 mois} - 1), soit 5,83 %. Le montant des intérêts sera de 1.000 x 5,83 / 100, soit 58,30 €.
Sur une durée d'un an, les intérêts seront de 58,30 + (1.058,30 × 5,83 / 100) = 120,00 €.

• Les intérêts 2

Les intérêts simples 
Le capital produit des intérêts qui ne sont pas incorporés au capital dans la période considérée pour produire eux-mêmes des intérêts.

• Les intérêts sont proportionnels au temps, c’est-à-dire à la durée écoulée entre la date de placement et la date d’échéance .

• L’année compte pour 360 jours soit 12 mois de 30 jours .

• Dans le comptage des jours, il faut négliger le jour du placement et compter le jour de l’échéance.

• Les mois comptent pour le nombre exact de jours.

• Le taux est en principe annuel mais il peut être mensuel, trimestriel...

• La valeur acquise (capitalisation) correspond au total de la somme disponible en fin de période. Elle est égale au capital + les intérêts.

Exemples :

• M. Pierre place une somme de 200 € sur un an au taux annuel de 2,25 %. A l’échéance, quel est le montant des intérêts ? Quelle est la valeur acquise de ce capital au bout d’un an ?

• Si M. Pierre avait placé cette somme le 15 juin à échéance le 31 décembre, quel aurait été le montant des intérêts ?

• Une traite de 890 €, échéant le 10 septembre, est escomptée à 12 % le 5 mai. Quel est le montant des intérêts ?

• Votre client passe une commande de 2 500 €. Il demande un paiement à 60 jours. Quel est le coût pour l’entreprise sachant que le taux d’escompte est de 12 % ? Quel serait le taux de remise équivalent ?

 Les intérêts composésLes intérêts s’ajoutent au capital en fin de période pour porter eux-mêmes intérêts.
n Formule de calcul de la valeur acquise (capitalisation) en fin de période : 
soient C le capital ; t le taux d’intérêts ; n le nombre de période.
Valeur acquise = C* (1+t)ⁿ

Exemple : Une somme de 10 000 € est placée sur 4 ans au taux de 7 % en intérêts composés. 
Compléter le tableau ci-dessous et retrouver la valeur acquise au bout de 4 ans.
 
Calcul par la formule : ........................................................................................
Valeur actuelle (actualisation) en intérêts composés : c’est la valeur à l’époque actuelle, d’un capital dont l’échéance est à long terme. Il s’agit donc de trouver la valeur actuelle d’une somme qui devrait être payée ou encaissée dans un an, deux an... 
Valeur actuelle = C * (1+t)^-n


Exemple : Quelle est la valeur actuelle au taux de 7,5 % d’une somme de 2 000 € payable dans
4 ans ?
Calcul par la formule : ........................................................................................
Significations :

• c’est la somme qui serait versée si l’emprunteur décidait de rembourser à l’époque 0.

• c’est aussi la somme qu’il faudrait placer à l’époque 0 pour avoir une valeur acquise de 2 000 € au bout de 4 ans.

 
L’emprunt par amortissement constantLes remboursements effectués chaque année (annuité) sont composés du capital remboursé (amortissement) + les intérêts.
L’emprunt par amortissement constant a des remboursements de capital identiques chaque année. Les intérêts sont calculés sur le capital restant du. Les annuités sont donc variables chaque année.
Exemple : emprunt de 5 000 € sur 4 ans au taux de 5 %. Date d’échéance le 01/01.
Compléter le tableau.

L’emprunt par annuité constanteLes remboursements effectués chaque année ont un montant constant.
Formule de l’annuité constante : C x (t/(1 - (1+t) ^-n))
Exemple : compléter le tableau ci-dessous correspondant à un emprunt de 5 000 € sur 4 ans au taux de 5%.
Calcul de l’annuité constante (arrondi au franc inférieur) :
 

• equivalence de capitaux

1) VALEUR ACQUISE PAR UN CAPITALSoit C un capital placé pendant t années au taux annuel i. On appelle valeur acquise par ce capital, la quantité C_t = C+ I_t , somme du capital et des intérêts produits.• Si t est entier, C_t est donnée par l’une des deux formules du chapitre précédent:C_t = C ( 1 + it) à intérêts simplesC_t = C ( 1 + i )^t à intérêts composés•• Si t n’est pas entier, on peut le convertir en années, mois, jours moyennant la convention simplificatrice que, dans n’importe quel mois, il y a 30 jours.Si donc t années correspondent à n années entières, m mois et p jours, on a:* à intérêts simples:C_t = C ( 1 + ni + mi/12 + pi/360)où [i/12] est le taux mensuel proportionnel au taux annueli, la valeur [i/360] représentant le taux journalierproportionnel au taux annuel i.C_t = C ( 1 + (n + m/12 + p/360) i), C_t = C ( 1 + ti)* à intérêts composés:C_t = C ( 1 + i )ⁿ ( 1 + i )^m/12 ( 1 + i)^p/360où [( 1 + i )^1/12 - 1] est le taux mensuel équivalent au taux annuel i,et [ 1 + i )^1/360 - 1] le taux journalier équivalent au taux annuel i.C_t = C ( 1 + i )^{(n + m/12 + p/360 )} , C_t = C ( 1 + i )^tCes deux formules généralisent celles du chapitre précedent. 2) VALEUR ACTUELLEOn suppose, dans ce chapitre, que les calculs se font à intérêts composés, seul cas intéressant dans ce type de problème. Considérons un capital C₀ à l’instant t = 0, un capital C_t à l’instant t > 0Si la valeur acquise à l’instant t par C₀ , placé au taux annuel i, est égale à C_t , on dit que C₀ est la valeur actuelle de C_t.C_t = C₀ ( 1 + i )^t => C₀ = C_t ( 1 + i )^-tC₀ <=> C_t -----Valeur actuelle <=> Valeur acquise 
3) EQUIVALENCE DE CAPITAUX On considère deux capitaux, placés au taux annuel i, (une origine des temps fixée)C₁ à la date t1 (années), C₂ à la date t2 (années)On dit que ces deux capitaux (ou placements) sont équivalents s'il existe une date t en laquelle ils ont la même valeur acquise, donc:C₁ ( 1 + i )^t-t1 = C₂ ( 1 + i )^t-t2 ou bienC₁ ( 1 + i )^-t1 = C₂ ( 1 + i )^{-t 2}Chacune de ces deux quantité est, selon le cas, une valeur actuelle ou une valeur acquise.t---------t1---------t2--- on aura 2 valeurs actuellest1--------t----------t2--- une valeur actuelle et une valeur acquiset1--------t2---------t---- deux valeurs acquisesOn constate que, si deux capitaux sont équivalents à une certaine date, ils sont équivalents en toute autre date; donc pour établir une équivalence, ou comparer des capitaux on aura le choix dans une optique de minimiser le nombre de calculs. 
4) CONCLUSIONAu niveau des formules, il n’y a pas lieu de distinguer une valeur acquise d’une valeur actuelle à condition de considérer l’exposant t comme une date non nécéssairement positive; on retiendra le résultat comme suit;Un capital vaut Co à la date 0, sa valeur à la date t est donnée par la formuleC_t = C₀ ( 1 + i )^toù i est le taux d’intérêt par période et t, positif, négatif ou nul est mesuré, à partir de 0, en adoptant cette période comme unité.

•  les annuités

• Valeur acquise par une suite d'annuités constantes

Vn : valeur acquise au moment du dernier versement a : versement constant t : taux par période n : nombre de versements

Valeur actuelle d'une suite d'annuités constantes

Vo : valeur actuelle une période avant le premier versement a : versement constant t : taux par période n : nombre de versements